Lorsque l'on travaille en comptabilité ou dans les finances, on doit évidemment maîtriser l'analyse financière. Plusieurs points doivent alors être compris et utilisés. Et parmi ceux-ci, le calcul stochastique est incontournable. C'est en effet un domaine mathématique très important. Ce calcul modélise des processus aléatoires et permet de comprendre et de prévoir l'évolution des systèmes dynamiques en fonction de certaines variations qui sont alors incertaines. Voyons ce qu'est ce calcul stochastique et ses applications.
Le rôle du calcul stochastique en finance
Il est important, avant même d'étudier les différentes applications du calcul stochastique, de bien comprendre de quoi il s'agit. Ce type de calcul s'intéresse aux processus qui évoluent avec des composantes aléatoires. Il permet ainsi d'étendre le calcul différentiel à différents cas pour lesquels les perturbations sont imprévisibles.
Ce calcul stochastique permet de mieux comprendre et prévoir les systèmes incertains.
La théorie des probabilités a alors un rôle central. Elle fournit, en effet, les outils indispensables pour réaliser les analyses concernant les fluctuations et événements incertains pouvant se produire.
Différents concepts sont liés au calcul stochastique :
Les processus stochastiques, collection de variables aléatoires qui sont indexées dans le temps. Elles servent à modéliser des phénomènes qui dépendent de ces facteurs aléatoires.
Le mouvement brownien (ou processus de Wiener). Ce modèle décrit les trajectoires continues et irrégulières, et est très utilisé pour représenter les cours de la bourse.
Les intégrales stochastiques. Elles sont primordiales pour le calcul Itô et permettent de travailler avec les fonctions des mouvements browniens.
Les EDS ou Équations Différentielles Stochastiques généralisent les équations différentielles en incluant des termes stochastiques.
Le calcul stochastique a de nombreuses utilisations dans le monde de la finance.
Il permet la modélisation des actifs financiers. Il est ainsi possible de modéliser le comportement des actifs financiers (actions, obligations, options). On peut utiliser différents modèles, comme par exemple, le modèle de Black-Scholes-Merton qui consiste à appliquer des processus stochastiques afin d'estimer la variation des prix des actifs. Il sera ainsi plus simple d'évaluer les opportunités et risques associés à des produits financiers. Le modèle de Black-Scholes-Merton a été développé par Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton. Il calcule le prix théorique des différentes options et dérivés financiers. C'est une méthode standardisée qui est adoptée dans le monde entier.
Le calcul stochastique est aussi utile pour la gestion des risques et est utilisé par les banques et institutions financières. On se base ainsi sur des simulations Monte-Carlo pour mesurer la probabilité des pertes. Il sera alors possible de prendre des décisions efficaces, et de modéliser des scénarios de crise. La simulation Monte-Carlo est une technique qui évalue les conséquences des chaînes de décision comprenant des risques significatifs. Il sera ainsi possible d'évaluer l'évolution des actifs financiers en réalisant des simulations aléatoires, ainsi que de quantifier des mesures de risques (comme le Value-at-Risk (VaR)).
Il est également possible, avec ce type de calcul, d'optimiser des portefeuilles. Le calcul stochastique va, en effet, permettre de maximiser les rendements et diminuer les risques. Il permettra de diversifier les investissements et d'évaluer les risques associés à chaque actif, et donc d'ajuster les stratégies en fonction des conditions du marché.
Le calcul stochastique fournit également des notions d'arbitrage. Pour cela, il faut mettre en place une modélisation des incertitudes liées à l'évolution du marché financier.
C'est aussi un procédé qui va permettre la comparaison des portefeuilles. Il est encore utilisé pour le modèle binomial (sur une période ou plusieurs) qui permet d'estimer la valeur des options.
Les marchés financiers sont constitués d'actifs (comme des actions ou des obligations) dont les prix changent au fil du temps, influencés par des facteurs variés et incertains. Pour mieux comprendre et prévoir ces fluctuations, on utilise des processus stochastiques, qui permettent de modéliser les évolutions des prix en tenant compte des aléas.
Au cœur de ces modèles, on trouve la théorie des probabilités, qui forme la base des mathématiques financières modernes. Parmi les méthodes les plus célèbres, on peut citer le modèle de Black-Scholes, qui a révolutionné la finance en permettant de calculer le prix des options.
Un concept clé lié à ces outils est celui de martingale. En mathématiques, ce terme décrit un type particulier de processus aléatoire. Pour simplifier, une martingale est un système où, à chaque instant, la meilleure prévision pour l'avenir est simplement la situation actuelle. Ce concept a été introduit dans les années 1930 par Jean Ville, mais il a des liens avec le mouvement brownien, une autre idée centrale pour modéliser des phénomènes aléatoires dans la nature et en finance.
Après la Seconde Guerre mondiale, un mathématicien nommé Norbert Wiener a approfondi la notion d'intégrale stochastique, qui a ensuite été élargie pour inclure les martingales. Ces avancées ont donné naissance au calcul stochastique, un domaine clé pour analyser et anticiper les évolutions des marchés financiers.
De nombreux outils mathématiques peuvent être utilisés :
Les aspects intuitifs,
L'intégrale stochastique,
L'équation différentielle stochastique (et le lemme d'Itô).
L'intégrale stochastique va être un véritable bénéfice pour tous les traders. Ils pourront ainsi travailler sur le cours des actifs et le délai imposé pour faire des bénéfices.
Revenons au calcul stochastique pour explorer ses applications en finance. L'un de ses outils essentiels est la formule d'Itô, qui permet d'effectuer des transformations complexes liées aux probabilités. Cette formule est particulièrement utile pour travailler avec des concepts comme les martingales, qui jouent un rôle clé dans de nombreux domaines financiers, comme les taux d'intérêt, l'évaluation d'actifs, ou encore la gestion des options.
Grâce au calcul stochastique, on peut également mieux comprendre les différents types de taux d'intérêt et leur fonctionnement. Enfin, ces outils permettent de déterminer la valeur (ou « pricer ») d'options complexes, souvent appelées « exotiques » en finance en raison de leurs caractéristiques inhabituelles.
Lorsque l'on parle de calculs stochastiques, il est aussi important de s'appuyer sur la modélisation stochastique. Celle-ci est utilisée, dans le domaine des finances, pour estimer les résultats potentiels des différents agissements en présence d'incertitude. On obtient ainsi la probabilité des différents résultats. Les institutions financières peuvent donc considérer des incertitudes dans les estimations réalisées. Les situations dans lesquelles les données ne peuvent être connues à 100 % sont alors prises en compte. Il sera ainsi possible de connaître les performances d'un portefeuille sur un marché volatil. On utilise pour cela différentes équations comprenant des entrées présentant des incertitudes dans le temps.
Concepts de base du calcul stochastique et processus de diffusion
Le calcul stochastique prend en compte différents concepts utilisés pour définir les probabilités. Il existe différents concepts liés à ce type de calcul.
Le mouvement brownien
Nous avons déjà parlé de ce type de calcul. Revenons quelques instants sur ce concept.
En 1827, Robert Brown a observé que des particules immergées dans un liquide sont en perpétuel mouvement irrégulier. Le mouvement brownien voulait alors modéliser ce phénomène. C'est le mathématicien Norbert Wiener qui analyse mathématiquement ce mouvement brownien. Le mouvement brownien implique un processus de diffusion.
L'intégrale d'Itô
Cette théorie a été développée en 1940, par Kiyosi Itô. Ce concept est un des outils fondamentaux de la stochastique. Cela définit le processus stochastique Xt. On utilise alors des propriétés spécifiées en termes de mouvement brownien.
Équation différentielle et lemme d'Itô
Lorsqu'une situation doit évoluer, nous ne savons pas quelles fonctions utiliser. Avec cette équation différentielle, il sera possible de calculer les fonctions utilisables. Le lemme d'Itô est, quant à lui, une version plus spécifique du théorème fondamental du calcul. Il est la base pour déterminer l'équation différentielle.
Convergence de suite de variables aléatoires
C'est un concept très important pour ce qui concerne les probabilités. Il existe différents modes de convergence :
Essentiellement uniformes,
En moyenne d'ordre P,
Presque sûre.
Il sera ainsi possible de définir des probabilités et de savoir où l'on va dans le domaine de la finance.
Applications avancées en options et produits dérivés
Dans le domaine de la finance, le calcul stochastique est très intéressant. Différentes applications sont alors mises en œuvre.
Théorème de Girsanov
Ce théorème indique comment un processus stochastique peut changer si l'on change les mesures. C'est un théorème important dans la théorie des mathématiques financières. Il est utile pour déterminer la seule probabilité de risque dans l'application.
Le théorème de représentation des martingales
Dans le domaine des mathématiques financières, la martingale désigne un processus probabiliste. Il étudie le maximum de données possible afin d'en déduire la valorisation dans le futur des produits.
Formez-vous au calcul stochastique pour la finance avec ESLSCA
Vous pourrez le constater, le calcul stochastique peut s'avérer redoutable si votre maîtrise en mathématiques est faible. C'est pourtant un élément qui a un rôle crucial dans le domaine des finances. Ce procédé va modéliser les processus aléatoires et donner de nombreuses réponses aux experts. Il sera ainsi possible de comprendre l'évolution des systèmes dynamiques et de les prévoir, même s'ils sont soumis à des variations incertaines.
Néanmoins, maîtriser ce calcul stochastique ne s'improvise pas. Il est donc indispensable de se former auprès de professionnels afin de bien l'utiliser. Si vous cherchez un moyen de parfaitement bien maîtriser les modèles de processus de Wiener ou le calcul d'Itô, pourquoi ne pas préparer un MBA en finances auprès de l'ESLSCA ? Vous disposerez ainsi des connaissances nécessaires pour évoluer dans le milieu des managers et des financiers. Vous en apprendrez plus sur les institutions, les produits, les approches, mais aussi les pratiques qui entourent les opérations financières et pourrez proposer aux entreprises des conseils avisés dans ce domaine. Et vous pourrez également choisir les meilleures applications en options financières disponibles.
Pour gérer au mieux les risques, il est aussi possible de faire appel à des logiciels, très utilisés dans ce domaine. Il sera alors possible de bien gérer les risques et de diminuer les pertes de façon conséquente. Ces logiciels effectuent, en premier lieu, une cartographie des risques. Puis, ils réalisent une campagne RCSA. Il sera ensuite possible d'automatiser les contrôles et de définir les alertes. Cela simplifie beaucoup le processus des calculs stochastique.